Dimostrare la seguente proprietà sull'anello $(\mathbb{Z},+,\cdot)$:

• Sia $a \neq 0$, se $a|b \Rightarrow MCD(a,b)=|a|$

Suggerimento (S): utilizzare la seguente osservazione dimostrata in classe, $a|b\ \land\ a|c \Rightarrow a|bx+cy,\ \forall x,\forall y$

($^1$)In conclusione, le soluzioni di (1) si ottengono sommando ad una soluzione particolare di (1) tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata.

Dimostrare la seguente osservazione sull'anello $(\mathbb{Z},+,\cdot)$:

• $a|b \land b|a \Rightarrow a = (\pm\ 1) b$

Esercizio 1 (Unicità dell'Inverso): Sia $(G,\star)$ un gruppo, verificare che dato $g \in G$, l’elemento $g'$ di cui in (3) è unico. Esso è detto inverso di $g$ ed è denotato $g^{−1}$.
(3) $\forall g \in G,\exists g'\in G : g\star g'=e=g'\star g$

Suggerimento: assumete che ce ne siano due e dimostrate che devono essere uguali.

Esercizio 1.4.3: Si provi per induzione che, per ogni intero positivo $n$, risulta:
$$1^2+2^2+3^2+...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Esercizio 1.2.2: Si provi che le condizioni che definiscono una relazione di equivalenza sono indipendenti, dando:
a) un esempio di relazione riflessiva e simmetrica, ma non transitiva;
b) un esempio di relazione riflessiva e transitiva, ma non simmetrica;
c) un esempio di relazione simmetrica e transitiva, ma non riflessiva.

• Suggerimento in #19

Dimostrare la seguente proprietà sull'anello $(\mathbb{Z},+,\cdot)$:

• $MCD(a,0)=|a|$

Dimostrare la seguente proprietà sull'anello $(\mathbb{Z},+,\cdot)$:

• Siano $a,b,c \in \mathbb{Z},\ a\neq 0,\ (b,c)\neq (0,0)$, $MCD(ab,ac)=|a|MCD(b,c)$

Dimostrare la seguente proprietà sull'anello $(\mathbb{Z},+,\cdot)$:

• $MCD(a, \pm\ a)= |a|$

Esercizio 1.4.2: Si provi per induzione che, per ogni intero positivo $n$, risulta:

$$\sum^n_{k=0} (4k+1) = (2n+1)(n+1)$$

Dimostrare la seguente proprietà sull'anello $(\mathbb{Z},+,\cdot)$:

• $MCD(\pm\ 1,b)=1$

Esercizio 1: Dimostrare che l'operazione di somma su $\mathbb{Q}$ è ben definita, ovvero non dipende dalla scelta dei rappresentati delle classi.
Definizione $+:= [(a,b)]+[(a',b')]=[(ab'+b'a,bb')]$

Quindi dimostrare: $(a,b) \rho (c,d) \land (a',b')\rho (c',d') \Rightarrow (ab'+ba',bb') \rho (cd'+dc',dd')$

Esercizio 1.4.4: Si provi per induzione che, per ogni intero positivo n, l'insieme delle parti $\mathcal{P}(X)$ di un insieme finito $X$ con $n$ elementi ha $2^n$ elementi.

($^1$) Vi ricordo che $f^{−1} : B → A$ è definita come segue: preso $b \in B$ sappiamo che esiste $a \in A | f (a) = b$ (perché $f$ è suriettiva); inoltre $a$ è unico dato che $f$ è iniettiva; riassumendo esiste unico $a$ tale che $f (a) = b$ e si pone $f ^{−1}(b) = a$.

Dimostrare la seguente proprietà sull'anello $(\mathbb{Z},+,\cdot)$:

• $MCD(a,b)=d \Rightarrow MCD(\frac{a}{d}, \frac{b}{d})=1$

• Verifica della somma in #18

Esercizio 1.2.1: Fissato $n \in \mathbb{N}$, sia $\varrho$ la seguente la relazione definita su $\mathbb{Z}$:

$$a \varrho b\ (mod\ n) \iff a-b = k\cdot n,k \in \mathbb{N}$$

Si provi che $\varrho$ è una relazione di equivalenza. Si studino le classi di equivalenza. Tale relazione prende il nome di congruenza modulo n, e si indica col simbolo $\equiv_n$. Si esamini in dettaglio il caso $n=5$.

Esercizio 1.1.1: Si provi che $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ (proprietà associativa dell'unione)
Esercizio 1.1.2 Si provi che $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ (proprietà associativa dell'intersezione)
Esercizio 1.1.3 Si provi che $A \cup B = A$ se e solo se $B \subseteq A$
Esercizio 1.1.4 Si provino le seguenti proprietà distributive:
$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$
$(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$
Esercizio 1.1.5 Si provi che (con $A^c$ si intende il complemento):
$(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$
$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$

($^2$) Quindi, più precisamente, la somma di due elementi di $\mathbb{Q}[\sqrt 2]$, visti come elementi di $\mathbb{R}$, è ancora un elemento di $\mathbb{Q}[\sqrt 2]$ e lo stesso è vero per il prodotto.

Esercizio 2: Sia $(G,\star)$ un gruppo, verificare che $(g\ \star\ h)^{−1}= h^{−1}\ \star\ g^{−1}, \forall g, h \in G$.

Suggerimento: utilizzate l’unicità dell’inverso.