[Lezione 9/10/23] Esercizio 2 about algebra2324 HOT 4 CLOSED

Dimostriamo che entrambi i lati dell'equazione sono inversi per $(g \star h)$:

• Per definizione di elemento inverso: $(g \star h)^{-1} \star (g \star h) = e$;

• Sia $k = h^{-1} \star g^{-1}$, sfruttando l'associatività di $\star$:
  $(g \star h) \star k= g \star (h \star k)= g \star (h \star (h^{-1} \star g^{-1})) = g \star ((h \star h^{-1}) \star g^{-1})= g \star (e \star g^{-1}) = g \star g^{-1} = e$

Allora $(g \star h)^{-1}$ e $(h^{-1} \star g^{-1})$ sono entrambi inversi per $(g \star h)$, siccome l'inverso è unico allora essi sono uguali.

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@CarloDaRomadev ci sono un paio di errori nella tua dimostrazione:

• hai supposto che il gruppo fosse commutativo, ma $G$ si tratta di un gruppo generico, quindi non puoi scambiare l'ordine degli elementi (puoi solamente decidere se farla prima con l'elemento sinistro o destro, per l'associatività)
• $(g \star h)^{-1}$ non è inverso per $(h \star g)$ sempre perchè non vale la commutatività
• non hai utilizzato l'unicità dell'inverso :(

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@Elia-Belli ma porca pupazza, hai perfettamente ragione

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