Простейшая задача вариационного исчисления - задача с закрепленными границами. Уравнение Эйлера.

y(π)=1, y(0)=0

Для того чтобы функционал J (y), определенный на множестве непрерывно дифференцируемых функций D ={y(x)}, удовлетворяющих граничным условиям y(x0)=y0, y(x1)=y1 достигал на функции y(x) экстремума, необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера:

Интегральные кривые дифференциального уравнения Эйлера называются экстремалями. Уравнение Эйлера в развернутом виде после взятия полной производной:

Сделаем замену аргументов для удобства расчета: y(x)=y, y’0)=y’

0 + 2y' + 2y'' - 2y' - 2y - 2 * sin(x) = 0
y'' - y - sin(x) = 0
k^2 * e^kx - e^kx = 0
k^2 - 1 = 0
k1 = 0
k2 = -1
y1 = e^x
y2 = e^-x
y00 = c1*e^x + c2*e^-x

Метод неопределенных коэффициентов, ищем частное решение:

Полученное уравнение: ` y = 0.0432 * e^x - 0.0432 * e^-x - 1/2*sin(x)