1. 从公式可以看出，有两处需要最终的解结果：
   • 一次计算cell内的积分，即代码中Lh函数的uhG
   • 一次需要计算数值通量，即代码中的Lh函数的uhR，uhL
     上面的几个变量都是真解的结果，不是系数

1. 这里说 因为要得到0时刻此时的u在每个单元的基函数的系数c0，然后再对c0进行时间推进。本质上是通过某一时刻u在每个单元的基函数的系数，刻画这个时刻的计算域内u的的分布。
2. 另外初值即问题的解是一些列多项式的系数，而不是直接的解析解
3. 可以参考这里https://zhuanlan.zhihu.com/p/605450187

参考其他代码库给结果添加绘图

是正交基1，x，x^2-1/3各自的平方在0-1区间上积分的结果

uh的含义

1. uh只是某个单元某个多项式系数的值: $c_0,c_1,c_2$
2. 而某个单元上最终的结果表示为: $u_h=c_0\phi_0+c_1\phi_1+c_2\phi_2$
3. 而所以有 $\int_{I_i}f(u_h^n)\phi_xdx$, uhG(i,:)表示的是对于某个单元i，所有积分点处的解的结果(不是系数,是真实的解),固定某个GLP点看，其表达的就是上面2中的叠加

% Step 1: calculate the Integral in cell
for i = 1:Nx                                      % 对所有对单元上的
    for d = 1:dimPk                               % 所有型函数进行计算，并累加到uhG上。进行对是所有型函数对累加
        uhG(i,:) = uhG(i,:) + uh(i,d)*phiG(:,d)'; % 这里计算的是f(u)中的u，下面才是计算的积分
    end
end

1. 从下面看出，uh程序中只是解的系数，并不是解：

for d = 1:dimPk
    uh(:,d) = uh(:,d)/mm(d);  % mm在get_basis.m中定义, 这里看出，uh只是多项式的系数，并不是解
end

如何计算与保存最后的真解

1. 由于uh只是系数，所以真解要用上面2中的公式计算

2. 由于在每个单元中，左中右的点分别为(-1,0,1),所以将其带入2中公式后得到：

   • $u_l=c_0-c_1+\frac{2}{3}\cdot c_2$
   • $u_m=c_0-\frac{1}{3}c_2$
   • $u_r=c_0+c_1+\frac{2}{3}\cdot c_2$

   if(mod(floor(t/dt),nsaveT)==0)
     i=i+1;
     % 在单元[-1,0,1]的三个位置处计算最终的求解变量结果
     saved(i,:,:)=[uh(:,1)-uh(:,2)+2/3*uh(:,3) uh(:,1)-1/3*uh(:,3) uh(:,1)+uh(:,2)+2/3*uh(:,3)];
   end
   

3. 真解图像为：
   

4. 而uh的图像为：
   

由于质量矩阵是对角阵 可以直接被除掉

这里说明了解是正交基的线性组合

1. 参考 https://zhuanlan.zhihu.com/p/623709134
2. 与标量的不同
   • init_data函数，是对向量做的，多了一个循环
   • L2_pro 多了一个循环
   • Lh
3. 相同的
   • get_GLP
   • RK3

1. 参考这里：https://zhuanlan.zhihu.com/p/623709134
   

1. 参考链接 https://zhuanlan.zhihu.com/p/612189005
2. 链接中的如下值，是根据 #6 中介绍的公式计算的：

   • $u_l=c_0-c_1+\frac{2}{3}\cdot c_2$

   • $u_m=c_0-\frac{1}{3}c_2$

   • $u_r=c_0+c_1+\frac{2}{3}\cdot c_2$
     

   • 从chiwang shu 的天元课程讲义中有(注意，均值是对 $uh=c_0+c_1x+c_2(x^2-1/3)$ 在-1，1上积分平均的结果，不是三个点的值简单相加再相除),经过积分后， $\bar{u}_i=c_0$ ：
     

   • 那么： $u_{i+1/2}-\bar{u}_i=c_0+c_1+\frac{2}{3}\cdot c_2-(c_0)=c_1+2/3c_2$

   • 且： $\bar{u}_{i}-u=c_1-2/3c_2$ 截图中第二项好像不太对?

   • 因此利用下图公式可以得到 $c_1=\frac{minmod_1+minmod_2}{2}, c_2=\frac{3}{4}(minmod_1-minmod_2)$,即如下代码中的uhmod(i,2),uhmod(i,3)

   for i = 1:Nx  % 循环所有单元                                      
   deltaUR = uh(i,2) + (2/3)*uh(i,3);              % 单元右端值减去平均值
   deltaUL = uh(i,2) - (2/3)*uh(i,3);              % 单元平均值减去单元左端值？这里对？
   deltaURM = uhb(i + 2,1) - uhb(i + 1,1);         % 右单元平均值减去本单元平均值
   deltaULM = uhb(i + 1,1) - uhb(i,1);             % 本单元平均值减去左单元平均值
   
   deltaURM1 = minmod(deltaUR,deltaURM,deltaULM);
   deltaULM1 = minmod(deltaUL,deltaURM,deltaULM);
   
   uhmod(i,2) = (deltaURM1 + deltaULM1)/2;
   uhmod(i,3) = 3*(deltaURM1 - deltaULM1)/4;
   end
   

3. 利用minmod函数求new定义如下(minmod对于输入同号时才有非零值，不同号为0)，这时，能根据minmod定义求出下面方程右端项结果：
   
4. 将上图左端项与系数的关系求得如下：
   
   • 上图右端由minmod函数给出，那么此为2个未知量，2个方程，可以求出新的 $c_1,c_2$的结果，

1. 是因为基函数在标准单元区间（-1，1）顶点上的取值