2.3.2 基于 3D 位置的流体模拟 (难度等级：2.5)

https://www.bilibili.com/video/bv1RR4y1H7Wj

1: for all particles i do
2: - apply gravity force $v_i$ ← $v_i$ + ∆tg
3: - integrate $x^∗_i$ ← $x_i$ + ∆t$v_i$
4: - find particle neighbors
5: - calculate $λ_i$
6: end for
7: for all particles i do
8: - calculate $∆p_i$
9: - update position $x^∗_i$ ← $x^∗_i$ + $∆p_i$
10: - handle boundary collisions
11: - apply XSPH viscosity
12: - update velocity $v_i$ ← $\frac{1}{∆t}$($x^∗_i$ − $x_i$)
13: - update position $x_i$ ← $x^∗_i$
14: end for

$C_i(p_1, ..., p_n) = \frac{\rho_i}{\rho_0} - 1$
$\rho_0$表示静止密度
$\rho_i = \sum_jm_jW(p_i - p_j, h)$
W表示核函数，h为核半径，$m_j$表示粒子质量，此处我们架设所有粒子质量相同，后面的公式中将省略
$C(p + \Delta{p}) = 0$
我们希望求得$\Delta p$使得上式成立
$C(p + \Delta{p}) \approx C(p) + \nabla{C^T}\nabla C\lambda + \epsilon\lambda$
$\Delta{p} \approx \nabla{C}\lambda$
$\lambda_i = -\frac{C_i(p_1, ..., p_n)}{\sum_k{\mid \nabla_{p_k}C_i \mid}^2 + \epsilon}$
要得$\Delta p$需要先求得$\lambda$，上式中$\epsilon$表示很小的实数，以防除零错误
$\nabla_{p_k}{C_i} = \frac{1}{\rho_0}\begin{cases}\sum_j \nabla_{p_k}W(p_i - p_j, h)& \text{k = j}\-\nabla_{p_k}W(p_i - p_j, h)& \text{k = j}\end{cases}$
当粒子为邻居时，计算其核函数的梯度；当为自身时，对所有邻居的梯度求和

$W_{ij} = \frac{315}{64\pi h^9}(h^2 - r^2)^3$
核函数使用的是Poly6 kernel
$\nabla W_{ij} = -\frac{45}{\pi h^6}(h - r)^2$
而核函数的梯度函数使用的是Spiky kernel

$v_i = v_i + c\sum_j v_{ij}W(p_i - p_j, h)$

$s_{corr} = -k\frac{W(p_i - p_j, h)^n}{W(\Delta q, h)}$
$\Delta p_i = \frac{1}{\rho0}\sum_j (\lambda_i + \lambda_j + s_{corr})\nabla W(p_i - p_j, h)$
一般取$\mid\Delta q\mid$ = 0.1h ... 0.3h, k = 0.1, n = 4

• github地址： https://github.com/zhanll/NiagaraFluid
• 安装4.26及以上版本UE4引擎，打开FluidSimulation.uproject即可