皮尔逊相关系数算法实现

这里的$E$表示的是期望，$E$在这里可以看成求和。

$$ \operatorname{Cov}(X, Y)=E\left[\left(X-\mu_{x}\right)\left(Y-\mu_{y}\right)\right] $$

$$ \operatorname{pearson}(u, v)=\frac{x和y的协方差}{(x的标准差 * y的标准差)} $$

具体可以表示成下面这种形式：

$$ \operatorname{pearson}(u, v)=\frac{\sum_{k \in I_{v} \cap I_{v}}\left(r_{u k}-\mu_{u}\right)\left(r_{v k}-\mu_{v}\right)}{\sqrt{\sum_{k \in I_{u} \cap I_{v}}\left(r_{u k}-\mu_{u}\right)^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{k \in I_{u} \cap I_{v}}\left(r_{u k}-\mu_{u}\right)^{2}}} $$

也可以表示成为下面的形式：

$$ P_{x, y}=\frac{\operatorname{cov}(x, y)}{\sigma_{x} \sigma_{y}}=\frac{E\left[\left(x-x_{i}\right)\left(y-y_{i}\right)\right]}{\sigma_{x} \sigma_{y}} $$

这里的$\sigma_{x}$和$\sigma_{y}$分别表示$x$和$y$的标准差，但是比较奇怪的是网上查询出来的标准差应该是下面的形式，需要除于总数，而这上面并没有。

$$ \sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{n}} $$

所以综上所述，这里的$\sigma_{x}$其实是下面的公式： $$ \sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} $$