節の簡単化規則の追加

Clover

概要

一階述語論理式の証明を行うCommon Lisp実装のツールです。以下のアルゴリズムを実装しています。

Knuth-Bendixの完備化アルゴリズム
導出原理(Resolution Principle)

インストール

バイナリ

LinuxとWindows向けにビルドしたバイナリをダウンロード可能です。

Releases

コマンドラインからのバッチ実行

完備化処理については、コマンドラインからバッチ的に実行することができます。

$ cat input_file.txt
(VAR x y z)
(RULES
c -> a
g(x) -> x
f(x, b) -> x
f(x, g(y)) -> f(g(x), y)
f(b, z) -> c
)
$ ./clover-linux-x86_64_ver2.4.0 input_file.txt
YES

(VAR x)
(RULES
 f(x,A) -> x
 f(A,x) -> A
 B -> A
 g(x) -> x
 C -> A
)
(COMMENT
 A < B < C < F < G
)
$

REPLの実行

導出原理と完備化による証明を実行することができます。

:def-axiomコマンドを用いて、証明したい式の前提となる式を定義します。その後、証明したい式を入力することで証明を試行します。

導出原理による証明例

$ ./clover-linux-x86_64_ver2.2.1
Command help
    :help                    show this help
    :quit                    quit from REPL
    :def-axiom    <name>     define an axiomatic system <name>
    :show-axiom              enumerate all axiomatic system that are currently defined
    :set-axiom    <name>     set current axiomatic system to <name>
    :set-history             keep resolution history. this option automatically
                             enabled if save-tree option on.
    :unset-history           disable history
    :set-profiler            enable statistical profiler
    :unset-profiler          disable statistical profiler
    :save-tree    <path>     save Graphviz code tree to <path>
    :unsave-tree
(NIL)>>> :def-axiom human
input . to finish definition
axiom[1]>>> !love(x,y) | !love(y,x) | happy(y)
axiom[2]>>> !love(x,y) | !love(y,x) | happy(x)
axiom[3]>>> love(A,B)
axiom[4]>>> love(B,A)
axiom[5]>>> .
(human)>>> :set-history
(human)>>> happy(A)

Evaluation took:
  0.050 seconds of real time
  0.049196 seconds of total run time (0.049196 user, 0.000000 system)
  98.00% CPU
  303 lambdas converted
  98,007,272 processor cycles
  16,910,960 bytes consed

PROVABLE under the human

 □ ←← love(A,B)
 ↑
 ↑
 !love(A,B)  ←← love(B,A)
      ↑
      ↑
 !love(A,x) | !love(x,A)  ←← !happy(A)
             ↑
             ↑
 !love(y,x) | !love(x,y) | happy(y)

等式証明例

入力された式が等式である場合は、完備化を試みます。完備化が成功した場合は、項書き換え系の元で等式を証明することができます。

(NIL)>>> :def-axiom group
input . to finish definition
axiom[1]>>> plus(ZERO,x) = x
axiom[2]>>> plus(plus(x,y),z) = plus(x, plus(y,z))
axiom[3]>>> plus(i(x),x) = ZERO
axiom[4]>>> .
Detected that a set of equations has been inputted.
Do you want to execute completion algorithm?  (yes or no) yes

The completion process was successful:
i(plus(y,x))=>plus(i(x),i(y))
i(i(x))=>x
i(ZERO)=>ZERO
plus(x,ZERO)=>x
plus(x,i(x))=>ZERO
plus(x,plus(i(x),y))=>y
plus(i(x),plus(x,y))=>y
plus(ZERO,x)=>x
plus(plus(x,y),z)=>plus(x,plus(y,z))
plus(i(x),x)=>ZERO
(group)>>> plus(plus(x,y),plus(z,w)) = plus(x, plus(y, plus(z, w)))
The equation can be PROVED under the axiom group

irreducible form under the group:
plus(x,plus(y,plus(z,w))) = plus(x,plus(y,plus(z,w)))

式の入力形式

REPL

前提となる式を定義する際には、<premise expression>の形式で入力します。それ以外の場合は、<consequence expression>の形式で入力します。

<premise expression> ::= <equation> 
                       | <premise logical expression>

<consequence expression> ::= <equation>
                           | <consequence logical expression>

<equation> ::= <term> "=" <term> 
             | <term> "!=" <term>

<premise logical expression> ::= <symbol> <argument>
                               | "!" <symbol> <argument>
                               | <premise logical expression> "|" <premise logical expression>

<consequence logical expression> ::= <symbol> <argument>
                                   | "!" <symbol> <argument>
                                   | <consequence logical expression> "&" <consequence logical expression>

<argument> ::= "(" ")"
             | "(" <term sequence> ")"

<term> ::= "[" "]"
         | "[" <term sequence> "]"
         | <constant>
         | <symbol>
         | <symbol> "(" <term sequence> ")"

<term sequence> ::= <term>
                  | <term sequence> "," <term>

<symbol>   ::= "a" | "b" | "c" | "d" | ... | "z" | ... | "aaa" | ...
<constant> ::= "A" | "B" | "C" | "D" | ... | "Z" | ... | "AAA" | ...

コマンドラインからのバッチ実行時のファイル形式

todo

Author

moratori

	(defun parse-premise-logical-expression (string)
	(handler-case
	(with-lexer (lexer 'premise-expression-lexer string)
	(with-token-reader (token-reader lexer)
	(parse-with-lexer token-reader %premise-expression-parser)))
	(condition (con)
	(error (make-condition 'expr-parse-error
	:message
	(format nil "~A error occurred while parsing string: ~A" con string))))))

	(defun parse-conseq-logical-expression (string)
	(handler-case
	(with-lexer (lexer 'conseq-expression-lexer string)
	(with-token-reader (token-reader lexer)
	(parse-with-lexer token-reader %conseq-expression-parser)))

	(condition (con)
	(error (make-condition 'expr-parse-error
	:message
	(format nil "~A error occurred while parsing string: ~A" con string))))))

	(defun parse-mkbtt-expression (string)
	(handler-case
	(with-lexer (lexer 'mkbtt-toplevel-lexer string)
	(with-token-reader (token-reader lexer)
	(convert-to-equation-set
	(mkbtt-form
	(parse-with-lexer token-reader %mkbtt-form-parser)))))
	(condition (con)
	(error (make-condition 'expr-parse-error
	:message
	(format nil "~A error occurred while parsing string: ~A" con string))))))

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