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compmatbook's Introduction
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1.1 矩阵运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 行列式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 矩阵的本征值问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 矩阵分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 幺正变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 群论基础 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 群的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 子群、陪集、正规子群与商群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 直积群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.4 群的矩阵表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.5 三维转动反演群 O(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 最优化方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 最速下降法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 共轭梯度法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3 牛顿法与拟牛顿法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.4 一维搜索 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3.5 单纯形法 (simplex) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.3.6 最小二乘法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.3.7 拉格朗日乘子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.4 矢量正交化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.4.1 施密特正交化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.4.2 正交多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.5 积分方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.5.1 矩形积分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.5.2 梯形积分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.5.3 辛普森积分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.5.4 高斯积分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.5.5 蒙特卡罗积分方法 (Monte Carlo Method) . . . . . . . . . . . . . . 67
1.6 习 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.1 量子力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.1.1 量子力学简介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.1.2 薛定谔方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.1.3 波函数的几率诠释 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.1.4 力学量算符和表象变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.1.5 一维方势阱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.1.6 方势垒的隧穿 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.1.7 WKB 方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.1.8 传递矩阵法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.1.9 氢原子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.1.10 变分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.2 晶体对称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.2.1 晶体结构和点群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.2.2 常见晶体结构和晶面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.2.3 结构缺陷 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.3 晶体的力学性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.3.1 状态方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.3.2 应变与应力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.3.3 弹性常数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.4 固体能带论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.4.1 周期边界、倒空间与 Bloch 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2.4.2 空晶格模型与第一布里渊区 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2.4.3 近自由电子近似与能带间隙 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.4.4 晶体能带结构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
2.4.5 介电函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2.5 晶格振动与声子谱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2.6 习 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.1 分子轨道理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.1.1 波恩-奥本海默近似(Born-Oppenheimer approximation) . . . . . 153
3.1.2 平均场(Mean Field)的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.1.3 电子的空间轨道与自旋轨道 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.1.4 Hartree-Fock 方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.1.5 HF 近似下的单电子自洽方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.1.6 Hartree-Fock 单电子波函数的讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.1.7 闭壳层体系中的 Hartree-Fock 方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.1.8 开壳层体系中的 Hartree-Fock 方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.1.9 Hartree-Fock 方程的矩阵表达 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.1.10 Koopmans 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.1.11 均匀电子气模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.1.12 Hartree-Fock 方程的数值求解和基组选取 . . . . . . . . . . . . . . 178
3.1.13 Xα 方法和超越 HF 近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.2 密度泛函理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.2.1 托马斯-费米-狄拉克近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.2.2 Hohenberg-Kohn 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
3.2.3 Kohn-Sham 方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.2.4 交换关联能概述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
3.2.5 局域密度近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
3.2.6 广义梯度近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
3.2.7 混合泛函 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
3.2.8 强关联与 LDA+U 方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
3.3 赝势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
3.3.1 正交化平面波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
3.3.2 模守恒赝势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
3.3.3 赝势的分部形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
3.3.4 超软赝势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
3.4 平面波赝势方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
3.4.1 布里渊区积分——特殊 k 点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
3.4.2 布里渊区积分——四面体法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
3.4.3 平面波-赝势框架下体系的总能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
3.4.4 自洽场计算的实现 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
3.4.5 利用共轭梯度法求解广义本征值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
3.4.6 迭代对角化方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
3.4.7 Hellmann-Feynman 力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
3.5 缀加平面波 (APW) 方法及其线性化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
3.5.1 APW 方法的理论基础及公式推导 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
3.5.2 APW 方法的线性化处理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
3.5.3 关于势函数的讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
3.6 过渡态 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
3.6.1 拖曳法与 NEB 方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
3.6.2 Dimer 方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
3.7 电子激发谱与准粒子近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
3.7.1 基本图像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
3.7.2 格林函数理论与 Dyson 方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
3.7.3 GW 方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
3.7.4 Bethe-Salpeter 方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
3.8 应用实例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
3.8.1 缺陷形成能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
3.8.2 表面能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
3.8.3 表面巨势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
3.8.4 集团展开与二元合金相图 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
3.9 习 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
4.1 VASP 程序介绍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
4.2 辅助建模软件 Atomsk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
4.3 后处理程序 VASPKIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
4.4 小分子气体能量计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
4.4.1 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
4.4.2 输出文件与结果分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
4.5 C2H5OH 的振动模式与频率计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
4.5.1 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
4.5.2 振动频率的提取和模式分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
4.6 材料平衡晶格常数计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
4.6.1 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
4.6.2 Birch-Murnaghan 方程拟合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
4.7 堆垛层错能的计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
4.7.1 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
4.7.2 广义堆垛层错能曲线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
4.8 多元合金的弹性性能计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
4.8.1 各类弹性常数计算方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
4.8.2 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
4.8.3 弹性常数矩阵的分析讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
4.9 空位形成能和间隙能计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
4.9.1 空位形成能的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
4.9.2 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
4.9.3 空位形成能和间隙能结果分析与讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
4.10 晶体 Si 的能带结构计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
4.10.1 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
4.10.2 能带图的绘制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
4.11 基于 HSE06 的态密度与能带计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
4.11.1 能带图的绘制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
4.11.2 DOS 图的绘制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
4.12 表面能的计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
4.12.1 构建表面基本流程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
4.12.2 表面能计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
4.12.3 伍尔夫结构定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
4.12.4 关于表面能的讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
4.13 缺陷石墨烯的 STM 图像计算模拟 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
4.13.1 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
4.13.2 STM 图像的获取与绘制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
4.14 Pt 表面简单物种的吸附能计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
4.14.1 Pt(111) 表面简单物种的吸附行为 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
4.14.2 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
4.14.3 吸附构型分析与吸附能提取 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
4.14.4 吸附能的零点能校正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
4.15 Pt(111) 表面羟基解离的过渡态搜索 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
4.15.1 过渡态方法简介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
4.15.2 Pt(111) 表面 OH 基团的解离势垒计算 . . . . . . . . . . . . . . . . 353
4.15.3 小结与展望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
4.16 Pt 表面的 ORR 催化路径 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
4.16.1 计算氢电极(CHE)模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
4.16.2 基于 CHE 模型的氧还原反应(ORR) . . . . . . . . . . . . . . . . 358
4.16.3 基本参数与主要输入文件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
4.16.4 小结与分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
4.17 习 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
5.1 建立 Hamiltonian 矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
5.1.1 双原子分子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
5.1.2 原子轨道线性组合方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
5.1.3 Slater-Koster 双中心近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
5.1.4 哈密顿矩阵元的普遍表达式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
5.1.5 对自旋极化的处理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
5.1.6 光吸收谱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
5.2 体系总能与计算原子受力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
5.3 自洽紧束缚方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
5.3.1 Harris-Foulkes 非自洽泛函 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
5.3.2 电荷自洽紧束缚方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
5.4 应用实例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
5.4.1 闪锌矿的能带结构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
5.4.2 石墨烯和碳纳米管的能带结构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
5.5 习 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
6.1 简介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
6.1.1 分子动力学基本步骤 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
6.1.2 系综平均与时间平均 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
6.1.3 周期性边界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
6.1.4 近邻列表算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
6.2 原子间相互作用势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
6.2.1 对势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
6.2.2 晶格反演势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
6.2.3 嵌入原子势(EAM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
6.2.4 改良型嵌入原子势(MEAM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
6.2.5 机器学习势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
6.3 微正则系综分子动力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
6.3.1 前向欧拉算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
6.3.2 Verlet 算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
6.3.3 速度 Verlet 算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
6.3.4 蛙跳算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
6.3.5 预测-校正算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
6.4 正则系综 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
6.4.1 热浴和正则系综 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
6.4.2 NPT 系综 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
6.5 第一原理分子动力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
6.5.1 波恩-奥本海默分子动力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
6.5.2 Car-Parrinello 分子动力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
6.6 分子动力学的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
6.7 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
7.1 LAMMPS 程序介绍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
7.2 可视化程序 OVITO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
7.3 惰性气体的扩散运动与平衡速率分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
7.3.1 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
7.3.2 气体扩散与平衡的讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
7.4 气体分子的布朗运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
7.4.1 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
7.4.2 布朗运动与温度的讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
7.5 大质量粒子的二维布朗运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
7.5.1 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
7.5.2 大质量粒子的运动特性讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
7.6 材料的热膨胀系数计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
7.6.1 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
7.6.2 线性膨胀系数计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
7.7 体积热容的计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
7.7.1 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
7.7.2 热容的线性拟合确定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
7.8 Cu 的声子谱计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
7.8.1 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
7.8.2 声子谱特性讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
7.9 Ni 裂纹扩展机理计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
7.9.1 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
7.9.2 应力应变与微结构演化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
7.10 LiS 锂硫电池体积膨胀的模拟 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
7.10.1 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
7.10.2 Li 嵌入与体积膨胀的讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
7.11 体相 Pt 的熔点与径向分布函数计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
7.11.1 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
7.11.2 MSD 与熔点关系的讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
7.12 Pt 纳米颗粒的熔点与表面熔化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
7.12.1 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
7.12.2 熔点与尺寸的定量讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
7.12.3 表面熔化现象讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
7.13 Pt 纳米颗粒的烧结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
7.13.1 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
7.13.2 烧结过程可视化与分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
7.14 氢原子在 BCC-铁中的扩散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
7.14.1 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
7.14.2 均方位移与扩散稀疏的计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
7.15 Ni 纳米线的屈服机制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
7.15.1 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
7.15.2 应力应变曲线与微观结构演变 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
7.16 SiGe 纳米线的热导率计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
7.16.1 SiGe 纳米线的建模 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
7.16.2 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
7.16.3 导热率计算与讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
7.17 多晶四元合金的切削分子动力学模拟 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
7.17.1 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
7.17.2 切削与多晶损伤的讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
7.18 Si 表面的薄膜沉积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
7.18.1 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
7.18.2 沉积形貌与表面粗糙度的讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
7.19 Hybrid 势模拟石墨烯对金属纳米线的卷绕过程 . . . . . . . . . . . . . . . 534
7.19.1 关键参数与输入脚本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
7.19.2 卷绕的尺寸效应讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
7.20 习 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
8.1 蒙特卡罗方法基本原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541
8.1.1 投点法计算图形面积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541
8.2 计算函数积分与采样策略 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
8.2.1 简单采样 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
8.2.2 重要性采样 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
8.2.3 Metropolis 采样 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
8.3 几种重要的算法与模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
8.3.1 NVT 正则系综的 MC 算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
8.3.2 NPT 正则系综的 MC 算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
8.3.3 巨正则系综的 MC 算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
8.3.4 Ising 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556
8.3.5 格子气模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
8.3.6 Potts 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
8.3.7 XY 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
8.4 Gibbs 系综 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
8.4.1 随机事件及其接受几率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
8.4.2 GEMC 算法实现 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
8.5 统计力学中的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
8.5.1 随机行走 (random walk) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
8.5.2 利用 Ising 模型观察铁磁-顺磁相变 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
8.5.3 逾渗问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
8.6 动力学蒙特卡罗方法 (KMC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
8.6.1 KMC 方法的基本原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
8.6.2 指数分布与 KMC 方法的时间步长 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
8.6.3 计算跃迁速率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
8.6.4 KMC 几种不同的实现算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
8.6.5 低势垒问题与小概率事件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
8.6.6 实体动力学蒙特卡洛方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
8.6.7 KMC 的若干进展 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
8.7 KMC 的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
8.7.1 表面迁移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
8.7.2 晶体生长 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
8.7.3 模拟程序升温脱附过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
8.8 习 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588
9.1 角动量算符在球坐标中的表达式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
9.2 拉普拉斯算符在球坐标中的表达式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592
9.3 勒让德多项式、球谐函数与角动量耦合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
9.4 三次样条 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
9.5 傅里叶变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601
9.5.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601
9.5.2 离散傅里叶变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
9.5.3 快速傅里叶变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604
9.6 结构分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610
9.6.1 辨别 BCC、FCC 以及 HCP 结构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610
9.6.2 中心对称参数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613
9.6.3 Voronoi 算法构造多晶体系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
9.7 NEB 常用的优化算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616
9.7.1 Quick-Min 算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616
9.7.2 FIRE 算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
9.8 Pulay 电荷更新 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618
9.9 最近邻原子的确定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619
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