This is a college work for Project and Analysis of Algorithms.

Este código visa resolver o problema NP-Completo do Ciclo Hamiltoniano em um grafo não orientado. Como foi feito para uma disciplina, Projeto e Análise de Algoritmos, por questão de didática a forma como foi implementado é a, ou uma das, menos eficiente possível.

Basicamente, é inserido um grafo vértice por vértice, informando para cada um deles as arestas que o ligam a outro. Exemplo: O grafo abaixo:

        (0)--(1)--(2)
         |   / \   |
         |  /   \  | 
         | /     \ |
        (4)-------(3)

Inserindo suas informações diria primeiro que: Contem 5 vértices.

Logo após, o programa pergunta vertice a vertice qual ele é adjacente. Enumera automaticamente os vertices com os números de 0 ao número de vertices digitado.

Em seguida, ele começa pelo 0 e pergunta a quais outros vertices ele está ligado. A resposta seria: 1 e 4. Como o proprio programa explica, deve-se informar os vértices ligados todos de uma vez, separados por espaço.

Pela definição de Ciclo Hamiltoniano, para que um grafo seja considerado Hamiltoniano e que tenha um ciclo hamiltoniano deve ser possível percorrer todos os seus vértices e retornar ao ponto inicial sem passar duas vezes pelo mesmo vértice.

Tendo isso em vista, após receber todas as informações do grafo, o algoritmo então gera uma lista contendo todas as combinações possíveis, sem repetir dentro de cada combinação para obedecer a regra de não visitar duas vezes o mesmo vértice, cada combinação sendo outra lista. Portanto é gerada uma lista de listas.

[0-1-2-3-4] e [3-4-0-1-2] seriam exemplos de duas combinações feitas no grafo acima.

Importante ressaltar que o código não diferencia [0-1-2-3-4] de [4-3-2-1-0], sendo que são a mesma coisa do ponto de vista do grafo, pois por ser, em teoria, um ciclo, qualquer ponto que se inicie nele retornará para o mesmo lugar. Uma possível, e futura, melhoria do algoritmo seria excluir essa "falha" e fazer com que considere as duas como iguais.

Geradas todas as combinações, o algoritmo então passa a iterar sobre cada uma delas tentando encontrar um ciclo possível na ordem da combinação da vez. Ele assume o primeiro elemento como o início do ciclo e parte do segundo. Então ele verifica se o vertice atual (no caso o 1) possui uma aresta com o anterior (que no caso é o 0).

Caso constate que há uma aresta entre eles, então ele passa para o próximo elemento (vertice 2) e repete o processo.

Um Ciclo hamiltoniano é detectado ao se chegar ao fim da combinação e, por consequência, ter adicionado todos os vértices anteriores ao último. Para isso verifica-se constantemente se a quantidade de vértices no caminho feito é igual ao número total de vértices do grafo.

Acontecendo esta stiuação, o grafo é tido como um Ciclo Hamiltoniano, porém o algoritmo apenas armazena esta combinação e continua para as próximas, caso haja alguma.

Novamente, é desnecessário tal esforço, pois um ciclo encontrado é suficiente para afimar como verdadeira anossa pergunta se ele é ou não hamiltoniano. Porém, como a ideia do trabalho é fazer um código de força bruta e o menos eficiente possível, para que seja melhorado no decorrer do curso, isso é ignorado.

Ao chegar ao fim de todas as combinações geradas, caso tenha encontrado algum Ciclo hamiltoniano, ele é mostrado.

Vale ressaltar que, como já foi dito anteriormente, ele não diferencia combinações iguais na ordem invertida, portanto, caso haja alguma que seja um ciclo hamiltoniano, haverá também a quantidade de vértices do grafo em ciclos válidos. Por questão de obviedade é mostrada apenas a primeira, começando no ponto 0, devido a aplicação real do algoritmo.

Também vale ressaltar que por questões de visualização, ao detectar um ciclo hamiltoniano, o algoritmo insere novamente o primeiro vértice apenas para facilitar a leitura.

BACKTRACKING

Adicionado uma melhoria do algoritmo, trabalhando com backtracking.

Backtracking, basicamente encontra apenas soluções viáveis, pois durante a contrução incremental de uma solução, ao adicionar um novo elemento e este invia- bilize a mes,a é automaticamente descartado e o algoritmo tenta encontrar um outro elemento que melhore a solução.

Outra adição, para ressaltar a eficiência, é que ao encontrar uma solução viável que satisfaça o problema, o algoritmo para, pois isto é suficiente como res- posta.

Novamente, é um projeto de disciplina, e a versão de força bruta é muito ineficiente e ingênua.