• Nama : Fajar Zuhri Hadiyanto
• NRP : 5025201248
• Kelas : Probstat C 2022

Pertama, import library yang diperlukan

library(dplyr)
library(ggplot2)

Pada soal 1.a diminta P(X=3) dengan p = 0.2

p <- 0.2
x <- 3

P_X <- dgeom(x, prob = p)
print(P_X)

Maka didapat hasilnya yaitu 1.024

set seed agar randomnya selalu sama

set.seed(0)

Lalu set n-nya menjadi 10000

n <- 10000

Generate 10000 data random dengan distribusi geometrik dan peluang 0.2

data <- rgeom(n, prob = p)

Hitung rerata dari kemunculan data random == 3, lalu tampilkan hasilnya

sim_P_X <- mean(data == 3)
print(sim_P_X)

Maka didapat hasil sebagai berikut

Dari soal 1.a didapatkan bahwa P(X=3) dengan distribusi geometrik dan peluang 0.2 yaitu 0.1024. Dari soal 1.b didapatkan bahwa rerata kemunculan angka 3 pada 10000 bialngan random dengan distribusi geometrik dan peluang 0.2 yaitu 0.1001.

Dari situ, dapat disimpulkan bahwa P(X=x) distribusi geometrik dengan peluang p dapat diestimasi dengan menghitung rerata kemunculan angka x pada serangkaian bilangan random berdistribusi geometrik dengan peluang p.

Atau dapat disimpulkan bahwa rerata kemunculan angka x pada serangkaian bilangan random berdistribusi geometrik dengan peluang p, dapat dihitung dengan funsgi probabilitas distribusi geometrik.

X <- 3
data.frame(x = 0:10, prob = dgeom(x = 0:10, prob = p)) %>%
mutate(Failures = ifelse(x == X, X, "other")) %>%
ggplot(aes(x = factor(x), y = prob, fill = Failures)) +
geom_col() +
geom_text(
  aes(label = round(prob,2), y = prob + 0.01),
  position = position_dodge( 0.9),
  size = 3,
  vjust = 0
) +
labs(title = "Probability of X = 3 Failures Prior to First Success",
     subtitle = "Geometric(0.2)",
     x = "Failures prior to first success (x)",
     y = "Probability")

Didapat grafik histogram sebagai berikut

Nilai rataan distribusi geometrik dapat dihitung dengan rumus (1-p)/p

data_mean <- (1-p)/p
print(data_mean)

Maka didapat hasil sebagai berikut

Sedangkan nilai varian distribusi geometrik dapat dihitung dengan menggunakan rumus (1-p)/p^2

data_variance <- (1 - p)/p^2
print(data_variance)

Maka didapat hasil sebagai berikut

Pertama, import library yang diperlukan

library(dplyr)
library(ggplot2)

Lalu, tulis apa saja yang diketahui dari soal, yaitu banyak data dan peluang sukses

n <- 20
p <- 0.2

Pada soal 2.a, diminta P(X=4) dengan distribusi binomial dan peluang 0.2

x <- 4
P_X <- dbinom(x, n, p)
print(P_X)

Maka didapat hasil sebagai berikut

x <- 0:n
X <- 4
y <- dbinom(x=x, size=n, prob=p)
data.frame(x = x, prob = y) %>%
mutate(Patient = ifelse(x == X, X, "other")) %>%
ggplot(aes(x = factor(x), y = prob, fill=Patient)) +
geom_col() +
geom_text(
  aes(label = round(prob,2), y = prob + 0.01),
  position = position_dodge(0.9),
  size = 3,
  vjust = 0
) +
labs(title = "Probability of X = 4 Patient recover",
     subtitle = "Binomial (0.2)",
     x = "Number of patient recover (x)",
     y = "Probability")

Maka didapat hasil sebagai berikut

Nilai rataan distribusi binomial dapat dihitung dengan rumus n * p

data_mean <- n*p
print(data_mean)

Maka didapat hasil sebagai berikut

Sedangkan nilai varian distribusi binomial dapat dihitung menggunakan rumus n * p * (1-p)

data_variance <- n*p*(1-p)
print(data_variance)

Maka didapat hasil sebagai berikut

Pertama, import library yang diperlukan

library(dplyr)
library(ggplot2)

Lalu, tulis apa saja yang diketahui dari soal, yaitu nilai lambda

lambda <- 4.5

Ditanya peluang kelahiran 6 bayi besok

x <- 6
p_x <- dpois(x, lambda)
print(p_x)

Maka didapat hasil sebagai berikut

set seed agar randomnya selalu sama

set.seed(0)

Generate data dengan distribusi poisson dengan banyaknya yaitu 365

data <- rpois(365, lambda)

Hitung rerata kemunculan angka 6 pada deretan angka tersebut, lalu tampilkan hasilnya

sim_p_x <- mean(data == 6)
print(sim_p_x)

Maka didapat hasil sebagai berikut

x <- 1:15
X <- 6
y <- dpois(x, lambda)
data.frame(x = x, prob = y) %>%
mutate(Birth = ifelse(x == X, X, "other")) %>%
ggplot(aes(x = factor(x), y = prob, fill=Birth)) +
geom_col() +
geom_text(
  aes(label = round(prob,2), y = prob + 0.01),
  position = position_dodge(0.9),
  size = 3,
  vjust = 0
) +
labs(title = "Probability of X = 6 Baby birth",
     subtitle = "Poisson (lambda = 4.5)",
     x = "Number of Birth",
     y = "Probability")

Dan berikut merupakan histogramnya

Dari soal 3.a didapatkan bahwa peluang kelahiran 6 bayi yaitu 0.1281201. Dari soal 3.b didapatkan bahwa peluang kemunculan angka 6 pada sederet bilangan dengan distribusi poisson dengan lambda 4.5 yaitu 0.1232877

Dari situ, dapat disimpulkan bahwa peluang terjadinya x kejadian dari rata-rata terjadinya lambda kali, dapat diestimasi dengan menghitung peluang kemunculan angka x pada sederet bilangan berdistribusi poisson dengan nilai lambda tersebut.

Atau dapat disimpulkan bahwa peluang kemunculan angka x pada serangkaian bilangan random berdistribusi poisson dengan lambda tertentu dapat dihitung dengan fungsi probabilitas distribusi poisson.

Nilai rataan distribusi poisson sama dengan nilai lambda

data_mean <- lambda
print(data_mean)

Maka didapat hasil sebagai berikut

Sedangkan nilai varian distribusi poisson sama dengan nilai lambda

data_variance <- lambda
print(data_variance)

Maka didapat hasil sebagai berikut

Tulis apa saja yang diketahui dari soal, yaitu x dan v

x <- 2
v <- 10

Pada soal 4.a diminta P(X=2) distribusi chi-square dengan v = 10

P_X <- dchisq(x, v)
print(P_X)

Maka hasilnya yaitu sebagai berikut

Set seed agar randomnya selalu sama

set.seed(0)

Generate 100 data random berdistribusi chi-square dengan v = 10

x <- 1:100
y <- rchisq(x, 10)

Lalu buat histogramnya, yaitu sebagai berikut

hist(y)

Nilai rataan pada distribusi chi-square sama dengan nilai v-nya

data_mean <- v
print(data_mean)

Maka hasilnya yaitu sebagai berikut

Sedangkan nilai varian pada distribusi chi-square yaitu 2 * v

data_variance <- 2*v
print(data_variance)

Maka hasilnya yaitu sebagai berikut

Diketahui suatu data random berdistribusi exponensial untuk lambda 3

lambda <- 3
set.seed(1)
x <- rexp(1, rate = lambda)

Ditanya fungsi probabilitas distribusi exponensial untuk lambda 3

P_X <- dexp(x, rate = lambda)
print(P_X)

Maka hasilnya yaitu sebagai berikut

Untuk 10 bilangan random

set.seed(1)
hist(rexp(10, rate=lambda))

Maka histogramnya yaitu sebagai berikut

Untuk 100 bilangan random

set.seed(1)
hist(rexp(100, rate=lambda))

Maka histogramnya yaitu sebagai berikut

Untuk 1000 bilangan random

set.seed(1)
hist(rexp(1000, rate=lambda))

Maka histogramnya yaitu sebagai berikut

Untuk 10000 bilangan random

set.seed(1)
hist(rexp(10000, rate=lambda))

Maka histogramnya yaitu sebagai berikut

Nilai rataan pada distribusi exponensial yaitu 1/lambda

data_mean <- 1/lambda
print(data_mean)

Maka hasilnya yaitu sebagai berikut

Sedangkan nilai varian pada distribusi exponensial yaitu 1/(lambda^2)

data_variance <- 1/(lambda^2)
print(data_variance)

Maka hasilnya yaitu sebagai berikut

Dengan mean = 50 dan standar deviasi = 8

d_mean <- 50
d_sd <- 8

Generate 100 data random berdistribusi normal

set.seed(1)
n <- 100
data <- rnorm(n, mean = d_mean, sd = d_sd)

Hitung mean dan standar deviasi untuk data yang telah digenerate

data_mean <- mean(data)
data_sd <- sd(data)

Hitung nilai X1 dan X2 seperti pada soal

x1 <- floor(data_mean)
x2 <- ceiling(data_mean)

Hitung P(x1 <= x <= x2) dengan rumus dibawah

P_X <- pnorm(x2, mean = data_mean, sd = data_sd, lower.tail = TRUE) -
  pnorm(x1, mean = data_mean, sd = data_sd, lower.tail = TRUE)
print(P_X)

Maka hasilnya yaitu seperti berikut

Hitung z-score dengan rumus z_score = (xi - mean) / sd

z_score <- (data - data_mean) / data_sd
print(z_score)

Maka hasilnya yaitu sebagai berikut

Untuk grafiknya yaitu sebagai berikut

plot(data, dnorm(data, d_mean, d_sd))

Hitogram distribusi normal dengan breaks 50 yaitu sebagai berikut

hist(data, breaks=50)

Nilai varian dari data hasil generate dapat dihitung sebagai berikut

data_variance <- var(data)
print(data_variance)

Maka hasilnya yaitu