Estudiantes: Bryan Carrillo Rojas Carné: B71671

• Tarea 3
  • Inciso 1
  • Inciso 2
  • Inciso 3
  • Inciso 4

Para el presente trabajo fueron dados los archivos de xy.csv y xyp.csv, para trabajar estos documentos fue necesario traducirlos a un tipo de datos manipulables, esto se logró a partir de la biblioteca de Pandas y se almacenaron los datos en las varibles valmargxy valmargy:

xy = pd.read_csv("xy.csv",  sep=',')
xyp = pd.read_csv("xyp.csv",  sep=',')

# se inicializan matrices para almacenar los valores marginales para X y Y
val_margx = []
val_margy = []

# Se obtienen las la sumatorias de las probabilidades (valores marginales)
val_margx = [ i for i in xy.sum(axis=1, numeric_only=True)]
val_margy= [ i for i in xy.sum(axis=0, numeric_only=True)]

Para mayor facilidad a la hora de utilizar los datos, se queman en el código los vectores xcount y ycount, los cuales equivalen a la cantidad de términos en las columnas y las filas de los datos:

# se genera un vector de valores coorrespondiente al números de valores marginales obtenidos
xcount = np.linspace(5,15, len(val_margx))
ycount = np.linspace(5,25, len(val_margy))

Para saber que tipo de ajuste se necesita, se van a graficar primero las funciones marginales crudas (solo graficar lo que se obtuvo de los datos):

##X
plt.plot(xcount,val_margx,'--')
plt.xlabel("X")
plt.ylabel("Frecuencia relativa X")
plt.title("Función de Densidad Marginal de X")
plt.savefig("out/CurvaX.png")
plt.show()

##Y
plt.plot(ycount,val_margy,'--')
plt.xlabel("Y")
plt.ylabel("Frecuencia relativa Y")
plt.title("Función de Densidad Marginal de Y")
plt.savefig("out/CurvaY.png")

Se obtienen las siguientes gráficas:

Como se logra apreciar, estas gráficas tienen naturaleza de una función de distribución Gaussiana, por lo que se procede a calcular los parámetros para cada una de las distribuciones:

def gaussiana(x, mu, sigma):
    return 1/(np.sqrt(2*np.pi*sigma**2)) * np.exp(-(x-mu)**2/(2*sigma**2))

# se obtienen los parámetros (mu y sigma) de cada una de las curvas
paramx, _= curve_fit(gaussiana, xcount, val_margx)
mux = paramx[0]
sigmax = paramx[1]
print("El valor de mu para la función de densidad marginal de X es: ", mux, " y el valor de sigma es: ", sigmax)

paramy, _= curve_fit(gaussiana, ycount, val_margy)
muy = paramy[0]
sigmay = paramy[1]
print("El valor de mu para la función de densidad marginal de Y es: ", muy, " y el valor de sigma es: ", sigmay)

Al construir las funciones de densidad marginales tanto de x como de y con los datos anteriores, se tiene:

Ahora al graficar los ajustes se obtiene:

Al asumir que las funciones obtenidas son estadísticamente independientes entre sí, se puede utilizar las ecuaciones y principios presentes en la D34-P4 del material del curso. Debido a la afirmación de la independencia se puede decir que:

Al utilizar las ecuaciones de las funciones de densidad marginales con la ecuación anterior, se obtiene la función de densidad conjunta:

Ahora para tener el modelo evaluado, se ingresa los valores de y :

En esta sección se utilizaron los valores del data_frame xyp, para realizar la multiplicación de cada una de las combinaciones de X y de Y, con la probabilidad asociada.

# se inicializan las variables
correlación = 0
co_varianza = 0

# se calcula la correlación y la co_varianza 
for i in range(0,len(xyp)):
    correlación = correlación + xyp.x[i]*xyp.y[i]*xyp.p[i]
    co_varianza = co_varianza + (xyp.x[i] - mux)*(xyp.y[i]-muy)*(xyp.p[i])

# se calcula el coeficiente de correlación --> pearson
pearson = co_varianza / (sigmax+sigmay)
print("La correlación  es :", correlación)
print("La co-varianza  es :",co_varianza)
print("EL coeficiente de correlación es :", pearson)

Como se tiene en el materia del curso, hay ecuaciones ya definidas para cada uno de los momentos principales: Covarianza, Correlación, Coeficiente de Correlación. Cada uno tiene su propio significado que al que se le puede dar un significado físico a partir de las gráficas obtenidas.

Según lo que dice el material del curso, este es el momento de segundo orden, expresado también como y está defindo por la siguiente ecucación:

En la D6-P10se hace referencia a la correlación como un índice de cuán asociadas o realcionadas se encuentras las variables y se especifíca claramente que esto no implica causalidad. Además, se hace mención en el material del curso, que para determinar si exite idependencia lineal entre los Variables, se realiza la prueba , se la condición se cumple se comprueba la independencia estadística.

En nuestro caso, se trabaja con valores discretos, por lo que solo se multiplica cada "par ordenado" por su probabilidad correspondiente. En el código anterior calcula el valor de la correlación con la línea correlación = correlación + xyp.x[i]*xyp.y[i]*xyp.p[i] y el resultado obtenido es:

Al calcular multiplicando se obtiene:

De los dos resultados anteriores se puede ver que la diferencia es muy pequeña, se le puede atribuir el error a los métodos de aproximación que se utilizaron. Como conclusión, se puede decir que las variables son estadísticamente independientes ya que , mismos resultado de la suposición del Inciso 2.

A la covarianza se le conoce como el momento conjunto de segundo orden, se expresa como y está definido por la siguiente ecuación: .

Es un índice muy útil para analizar la relación el que crecen o decrecen los valores de una variable con respecto a otra, existen 3 posibilidades distintas para la covarianza:

• Si C_{XY} > 0 hay dependencia directa o positiva, los grandes valores de `x` corresponden grandes valores de `y`.
  

• Si C_{XY} = 0 no hay existencia de una relación lineal entre las dos variables.
  

• Si C_{XY} < 0 hay dependencia inversa o negativa, a grandes valores de `x` corresponden pequeños valores de `y`.
  

En este caso con valores discretos, se calcula mediante la iteración de la línea co_varianza = co_varianza + (xyp.x[i] - mux)*(xyp.y[i]-muy)*(xyp.p[i]) y generó como resultado:

Tomando en cuenta la explicación y el resultado anterior, se puede decir que , eso implica y confirma la independencia estadística entre las variables.

Este es el momento de segundo orden normalizado, se denota con ρ. Es un índice que se utiliza para medir el grado de correlación entre 2 variables. ρ es un índice acotado de [-1,1[, cuando ρ = 0 las variables son estadísticamente independientes. El también llamado Coeficiente de Pearson se calcula de la siguiente manera:

En el caso de las variables dadas, se obtuvo:

Al ser el resultado anterior muy cercano a cero, nuevamente se puede puede afirmar que no existe dependencia estadística entre las variables.

Se agregan las gráficas exclusivas de los ajustes de las funciones marginales, obtenidas a partir del procedimineto del Inciso 1:

A continuación, se presenta la superficie que modela a la función de densidad conjunta trabajada.